Tri v rade: celý strom hry a ako sa v ňom vyhráva

Hra Čiary (anglicky Lines) má tri varianty a ten najmenší každý pozná: tri v rade na doske 3 × 3. Moja poznámka o ňom z 30. októbra 2026 hovorí: je veľmi jednoznačný, prehrať v ňom je umenie a väčšinou sa končí remízou. K tomu moje zadanie: článok o tom, ako sa v ňom vyhráva, aké sú kombinácie výhry a ako sú na tom prvý a druhý hráč. Je to prvý článok série o hre Čiary.

Odpovede sa dajú nielen odhadnúť, ale aj spočítať. Strom tejto hry je taký malý, že sa dá prejsť celý: každá partia, každá pozícia a hodnota každého ťahu pri bezchybnej hre. Článok ich prejde, a až potom sa pozrie na to, ako sa výsledky premietajú do AI hry (Slabá, Normálna, Silná) a do hráča, ktorý sa chce nad ňou presadiť. Názvy hry aj variantov sú pracovné a čakajú na kontrolu ochranných známok; v texte sa preto držia rozhrania hry.

Pravidlá a osem čiar

Dvaja hráči striedavo kladú po jednom kameni na prázdne políčko. Kameň sa neberie ani nehýba. Vyhráva ten, kto má ako prvý tri svoje kamene v rade: vodorovne, zvislo alebo uhlopriečne. Keď je doska plná a nikto čiaru nemá, je to remíza. V hre je kameň disk vo farbe hráča (do 30. októbra 2026 to boli písmená X a O). Proti AI sa vyberá, kto začína: Ty, Súper alebo Náhodne.

V článku sa vždy hovorí o prvom a druhom hráčovi, nie o človeku a AI: výhoda alebo nevýhoda závisí od poradia, nie od toho, kto drží myš. Na obrázkoch je prvý hráč modrý, druhý oranžový a číslo na kameni je poradie ťahu.

Na doske 3 × 3 je výherných čiar presne osem: tri riadky, tri stĺpce a dve uhlopriečky.

Každé políčko leží v jednom riadku a v jednom stĺpci. Stred navyše leží v oboch uhlopriečkach, každý roh v jednej a hrana v žiadnej. Z toho plynie počet čiar: stred 4, každý roh 3, každá hrana 2 (súčet je 4 + 4 × 3 + 4 × 2 = 24, teda osem čiar krát tri políčka). Kameň na stredovom políčku stavia a zároveň ruší najviac čiar, kameň na hrane najmenej.

Počet čiar je hrubý odhad hodnoty políčka a výpočet ho potvrdí: ak prvý hráč otvorí stredom a ostatné ťahy sa hrajú náhodne, vyhrá 69,3 % hier, po rohu 60,7 % a po hrane 53,6 %.

Celý strom hry

Partia je postupnosť ťahov, ktorá sa končí čiarou alebo plnou doskou. Úplná enumerácia (každý ťah, každá odpoveď) ich našla 255 168. Prvý hráč v nich vyhrá 131 184-krát, druhý 77 904-krát a 46 080 partií je remíz. Rozdelenie podľa dĺžky:

Pozícií, ktoré sa v nejakej partii objavia, je 5 478, z toho 958 konečných (čiara alebo plná doska) a 4 520 takých, v ktorých sa ešte hrá. Keď sa otočenia a zrkadlenia počítajú ako ten istý obraz, zostáva 765 pozícií, z toho 627 rozohraných a 138 konečných (91 výhier prvého, 44 druhého a 3 remízy).

Výpočet potvrdil čísla, ktoré uvádza Wikipédia. Stránka o zložitosti hier (stav z 22. októbra 2026) má pre tri v rade 5 478 pozícií, 765 pozícií po symetriách, 255 168 partií a 26 830 partií po symetriách. Stránka Tic-tac-toe (stav z 21. októbra 2026) uvádza 765 pozícií po symetriách, 138 konečných pozícií a ich rozdelenie 91 / 44 / 3. Prvé tri čísla vyšli zhodne. Pri 26 830 záleží na tom, čo sa počíta: vyjde, keď sa v každom kroku zlúčia ťahy vedúce k rovnakej pozícii až na symetriu; ak sa naopak každá partia počíta s osmičkou symetrií, vychádza 255 168 / 8 = 31 896. Oba počty sú správne, rátajú iné veci.

Rozdelenie 51,4 % / 30,5 % / 18,1 % (z počtu partií) nie je to, čo vidí hráč pri stole. Náhodný hráč nevyberá partiu zo zoznamu, ale ťahá: krátke partie sú pri náhodnej hre pravdepodobnejšie než tie dlhé. Exaktný výpočet s rovnakou pravdepodobnosťou každého voľného políčka dáva:

Spolu vyhrá prvý hráč 58,5 %, druhý 28,8 % a remíza je 12,7 % hier; 64,8 % partií sa skončí čiarou skôr, než sa zaplní doska. Prvý hráč teda vyhráva dvakrát častejšie než druhý, hoci nikto z nich nič nevie: výhoda poradia existuje aj bez schopností.

Hodnota otvorení pri bezchybnej hre

Pri bezchybnej hre oboch strán je každé z deviatich otvorení remíza. Prvý hráč teda nemá ako vyhrať a druhý nemá ako vyhrať tiež. Otvorenia sa líšia len v jednom: koľko odpovedí druhého hráča vyhráva remízu a koľko prehráva. Až na otočenia a zrkadlenia sú tri.

Ten istý vzor uvádza aj Wikipédia na stránke Tic-tac-toe (po rohu musí druhý hrať do stredu, po strede do rohu, po hrane do stredu, do susedného rohu alebo na protiľahlú hranu). Pri rohu je teda 7 z 8 odpovedí chybných.

Každá prehrávajúca odpoveď prehráva rovnako rýchlo. Pri bezchybnom ťahaní prvého a najlepšom odpore druhého končí každá z nich prehrou druhého na 7. ťahu, teda štvrtým kameňom prvého hráča. Žiadna z nich sa nedá predĺžiť na osem ani deväť ťahov.

Obrázok ukazuje všetky štyri druhy omylu po rohu: susedná hrana, susedný roh, vzdialená hrana a protiľahlý roh. Vo všetkých štyroch má prvý hráč po svojom treťom kameni dve hrozby naraz. Takému ťahu sa hovorí vidlica a je to jadro celej hry.

Kde sa dá pomýliť

Čo je chyba? Ťah, po ktorom sa hodnota pozície pre hráča zhorší (výhra na remízu, remíza na prehru). Na „bezchybnej ceste“, teda v pozíciách, do ktorých sa pri správnych ťahoch oboch strán dostane, je v každom ťahu tento podiel chybných ťahov:

Podiel ide cez pozície, nie cez partie: každá pozícia sa počíta raz. Tabuľka má dve zaujímavé čítania. Po bezchybnej odpovedi druhého hráča na otvorenie stredom alebo rohom prvý hráč nemôže v treťom ťahu prehrať ani náhodným ťahom: všetky 4 prehrávajúce ťahy tretieho ťahu prichádzajú až po otvorení hranou: po odpovedi do susedného rohu sú to 3 zo 7 legálnych ťahov, po odpovedi do stredu 1 zo 7. A v 2., 4., 5. a 6. ťahu prehráva viac než polovica legálnych ťahov: na bezchybnej ceste sa treba strážiť obom.

Partií, v ktorých sa nepomýli nikto, je 3 584 z 255 168, teda 1,4 % (448 až na symetrie). Rozdelenie hodnôt je nerovnomerné: z 4 520 rozohraných pozícií je pri bezchybnej hre ďalej 2 310 výherných pre prvého, 1 158 výherných pre druhého a len 1 052, teda 23 %, remízových. Remíza je úzky koridor v strome, v ktorom je väčšina pozícií rozhodnutá pre jedného z hráčov.

Ako sa vyhráva: vidlica

Hrozba je čiara, v ktorej má hráč dva kamene a tretie políčko je voľné. Súper musí okamžite zablokovať, inak prehrá: to je nútená odpoveď. Vidlica je ťah, ktorý vytvorí dve hrozby naraz. Súper zablokuje jednu a hráč dokončí druhú.

Každá vidlica vzniká rovnako: tri kamene jedného hráča, z ktorých dve čiary majú po dvoch kameňoch a voľné tretie políčko. Až na otočenie a zrkadlenie je takých tvarov deväť: šesť z nich dáva dve hrozby a tri dávajú tri.

V partiách, ktoré vzniknú po omyle druhého hráča (pozícia po 5. ťahu v najpresnejšom útoku, pre všetky otvorenia a všetky chybné odpovede), sa opakujú len tri z týchto deviatich tvarov:

• tri rohy (L z rohov): typicky po otvorení rohom, keď druhý hráč odpovie do rohu alebo na hranu;
• dva rohy a stred: po otvorení rohom a odpovedi na hranu, po otvorení stredom a odpovedi na hranu;
• roh, stred a hrana: po otvorení rohom, stredom aj hranou.

Dva z troch tvarov obsahujú stred, ktorý leží v štyroch čiarach.

Nútené odpovede majú ešte jednu vlastnosť: blok môže byť zároveň ťah, ktorý vytvára vlastnú hrozbu. Najpoučnejší prípad je pasca s opačným rohom. Po 1. rohu, 2. strede a 3. opačnom rohu sa druhý hráč zdanlivo môže pohnúť kamkoľvek, ale zahrať do rohu je chyba:

Keď druhý hráč zahrá do rohu, vytvorí hrozbu na treťom rohu; prvý hráč ju zablokuje práve tým kameňom, ktorý zároveň vytvorí vidlicu. Takéto „blokuj a zaútoč“ ťahy sú dôvodom, prečo sa dá prehrať aj hráčovi, ktorý vždy blokuje.

Jeden zo spôsobov, ako to celé držať v hlave, je poradie pravidiel, ktoré uvádza Wikipédia: 1. vyhraj, ak sa dá; 2. zablokuj hrozbu súpera; 3. vytvor vidlicu; 4. zabráň súperovej vidlici; 5. zober stred; 6. zober roh oproti súperovmu; 7. zober voľný roh; 8. zober voľnú hranu. Stránka Wikipedia ho uvádza ako poradie, ktoré používal program Newella a Simona z roku 1972 (v poznámke odkazuje na prácu Crowleyho a Sieglera z roku 1993). Výpočet ho overil celé: v 762 pozíciách, v ktorých podľa neho hrá, a proti každému súperovi z oboch strán nie je ani jeden ťah, ktorý by hodnotu pozície zhoršil. Pri 4. pravidle sa berie jediné políčko, kde by súper urobil vidlicu; ak sú dve, hráč si vytvorí hrozbu, ktorej nútená odpoveď nie je vidlicou súpera.

Ako vyzerá partia, v ktorej sa nepomýli nikto:

Partia na obrázku je jedna z bezchybných partií s najviac nútenými ťahmi (5 z 9, žiadna nemá viac): od piateho ťahu až do konca je každý ťah blok, ktorý vytvorí hrozbu, ktorú zase treba zablokovať.

Proti AI hry

AI v hre Čiary má tri úrovne (js/realms/rokgard/games/lines/core/ai.js, DESIGN §80.3; v čase merania 30. 10. 2026 js/realms/taflgard/games/chains/core/chains-ai.js): Slabá (úroveň 1) sa pozrie na jeden ťah a robí chyby, Normálna (úroveň 2) hľadá štyri ťahy dopredu a Silná (úroveň 3) až štrnásť ťahov dopredu, čo na doske 3 × 3 znamená do konca hry. Obe vyššie úrovne hrajú na doske 3 × 3 dokonale.

• Všetci traja otvárajú stredom. Na prázdnej doske je jediný kandidát stred. Keď AI začína, druhý hráč teda vždy čelí otvoreniu stredom a remízu mu dajú len štyri rohy.
• Normálna a Silná AI nikdy neprehrajú. Nástroj hry (dnes lines.js --solved, v čase merania chains.js --solved) prejde celý strom súperových ťahov proti úrovni 3: 1 386 partií, 0 prehier, 900 výhier a 486 remíz. Samostatná kontrola prešla pre úrovne 2 a 3 všetky pozície, do ktorých sa AI môže dostať proti ktorémukoľvek súperovi, a v každej overila, že každý ťah z jej množiny najlepších ťahov hodnotu pozície nezhoršuje: 1 194 pozícií úrovne 2 a 1 610 pozícií úrovne 3, bez jedinej výnimky.
• Rozdiel medzi nimi je len v tom, koľko rovnako dobrých ťahov vidia. Zo 1 610 pozícií, do ktorých sa Silná dostane, vyberajú obe úrovne rovnakú množinu ťahov v 1 590; v ostatných 20 vidí Silná viac remízových ťahov. Príklad: po otvorení hranou Normálna vždy zahrá do stredu, Silná vyberá náhodne zo štyroch remízových odpovedí (dva susedné rohy, stred, protiľahlá hrana). Po strede hrajú obaja náhodný roh a po rohu stred.
• Slabá používa tri čísla z LEVELS[1]: výhru na jeden ťah nepremešká nikdy; inak v 8 % ťahov zahrá náhodný ťah, v 40 % zvyšných ťahov nevidí hrozbu súpera a ináč vyberie náhodne spomedzi ťahov, ktorých hodnota je aspoň 40 % hodnoty najlepšieho. Robí teda presne tie chyby, ktorými sa vyhráva.

Čo dosiahne hráč s danou stratégiou

Jednotlivé výsledky sa dajú vypočítať presne, bez vzorky: v každej pozícii sa dá spočítať, aký ťah zahrá Slabá AI s akou pravdepodobnosťou (jej náhodný prúd má tri vetvy: náhodný ťah, ťah bez pohľadu na súpera a ťah s pohľadom), a strom hry sa potom prejde s týmito pravdepodobnosťami. Výsledok sa porovnal so simuláciou skutočnej AI (20 000 partií na bunku): líšia sa o najviac 0,5 percentuálneho bodu.

Stratégie hráča:

• náhodná: ľubovoľné voľné políčko;
• blokuje: vyhrá, ak môže, zablokuje hrozbu, ináč náhodne;
• stred a rohy: ako predošlá, ináč stred, potom roh, potom hrana;
• vidlica: vyhrá, zablokuje, urobí vidlicu (ak je), ináč stred a rohy;
• 8 pravidiel: poradie Newella a Simona z predošlej sekcie;
• dokonalá: náhodne spomedzi ťahov, ktoré hodnotu hry nezhoršia;
• najlepšia: ťah, ktorý maximalizuje podiel výhier proti tejto AI (hľadá sa cez všetky možnosti).

Tabuľka celých výsledkov (výhra / remíza / prehra, %):

Z tabuľky plynú tri veci.

Prvý hráč nad Slabou AI vyhráva väčšinu hier aj s najjednoduchšou stratégiou. Stratégia, ktorá berie stred a rohy a pritom blokuje a vyhráva, vyhrá 74,9 % hier a žiadnu neprehrá. Každý ďalší krok pridá výhry: vidlica 6,2 bodu (81,1 %), osem pravidiel ďalších 5 (86,1 %), dokonalá hra 2,4 (88,5 %) a najlepšia možná ďalších 7 (95,5 %).

Druhý hráč nad Slabou AI nevyhrá viac než 41 %. Slabá AI otvorí stredom a druhý hráč má iba štyri bezpečné odpovede (rohy). Žiadna stratégia na tom nič nezmení: aj „najlepšia“ ostane na 41,0 %. Všetky výhry druhého hráča sú chyby Slabej AI, ktoré druhý hráč čaká a využije; sám si ich vynútiť nemôže.

Zlá odpoveď druhého je drahá aj proti Slabej AI. Hráč, ktorý po strede Slabej AI odpovie na hranu, vyhrá aj pri najlepšom pokračovaní len 19,0 % hier, 27,5 % remizuje a 53,6 % prehrá. Odpoveď do rohu dáva 41,0 % výhier a žiadnu prehru.

Ktorým otvorením sa Slabá AI prepadne najčastejšie

Slabá AI odpovedá na otvorenie prvého hráča s týmito pravdepodobnosťami chyby (odpoveď, po ktorej má prvý hráč pri bezchybnej hre vyhratú pozíciu):

Stĺpce vpravo sú podiel výhier prvého hráča (%), keď po otvorení hrá danú stratégiu. Po rohu odpovedá Slabá AI do stredu, jedinou správnou odpoveďou, len v 14 % hier. Preto je roh najlepšie otvorenie proti Slabej AI, hoci proti náhodnému súperovi je to stred a proti dokonalému je to jedno. Výber otvorenia závisí od toho, koho treba prekvapiť.

Dá sa aj rozložiť, ako Slabá AI prehráva. Proti „dokonalej“ stratégii (simulácia 20 000 partií na riadok): po rohu je z 94,0 % výhier 69,0 % z vidlice a 25,0 % z prehliadnutej jedinej hrozby; po strede z 81,0 % (presne 80,9 %) je 53,3 % vidlica a 27,7 % prehliadnutá hrozba; po hrane z 84,9 % (presne 85,0 %) je 60,8 % vidlica a 24,1 % prehliadnutá hrozba. Väčšinu výhier nad Slabou AI teda dáva vidlica. Stratégia „vidlica“ po otvorení hranou ale prehrá 3,5 % hier: hľadá vlastnú vidlicu a nebráni súperovej.

Proti Normálnej a Silnej AI

Proti oboma vyšším úrovniam je výsledok každej stratégie od „stred a rohy“ vyššie rovnaký: 100 % remíz, aj ako prvý, aj ako druhý. Výhra nie je možná a nechce sa ju hľadať. Najlepší možný výsledok je remíza a zbytok hry je o tom, či sa k nej dá dôjsť.

(Výhra / remíza / prehra, %.) Hráč, ktorý berie stred, rohy a pritom vždy blokuje a vyhráva, neprehrá nikdy. Ten, ktorý blokuje, ale inak ťahá náhodne, prehrá ako prvý 8 – 17 % hier, ako druhý 55 – 57 %.

Prehrať je umenie

Môj postreh sedí pre hráča, ktorý vie aspoň základy, a nesedí pre toho, kto ťahá bez rozmyslu. Čísla hovoria toto:

• Hráč, ktorý berie stred a rohy a pritom blokuje a vyhráva, neprehrá ani jednu hru proti žiadnemu z AI súperov, ako prvý ani ako druhý. Odtiaľ vzniká dojem, že „prehrať je umenie“ a že sa to „väčšinou končí remízou“: kto sa raz naučí zablokovať hrozbu, drží remízu proti každému z AI súperov.
• Náhodný hráč prehráva veľmi často: proti Silnej AI ako prvý v 77,7 % hier, ako druhý v 98,3 %. Nie je to umenie: na doske 3 × 3 vyvádza zo správnej cesty veľa ťahov (tabuľka vyššie).
• Aj hráč, ktorý blokuje, ale inak ťahá náhodne, prehráva: ako prvý 8 – 17 % hier, ako druhý 55 – 57 %. Preto nestačí zablokovať hrozbu; treba vidieť aj vidlicu o ťah dopredu.
• Proti Normálnej a Silnej AI stačí jedna chyba. Najrýchlejšia prehra, ktorú AI istotne dokončí, má 5 ťahov pre druhého hráča a 6 ťahov pre prvého: stačí nezablokovať hrozbu.

• Úmyselná prehra je istá. Stratégia, ktorá sa o prehru snaží, ju dosiahne v 100 % hier proti všetkým trom AI súperom, ako prvý aj ako druhý (presný výpočet, 30. 10. 2026). AI výhru na jeden ťah nepremešká, preto stačí nezablokovať jej hrozbu.
• Prvý hráč prehráva ťažšie než druhý. Po bezchybnej odpovedi na otvorenie stredom alebo rohom prvý hráč v treťom ťahu nemôže prehrať vôbec, po hrane len niektorými zo 7 ťahov; druhý hráč má prehrávajúce ťahy už v druhom ťahu pri každom otvorení.

Prvý a druhý hráč

Výhoda začať závisí od toho, ako dobre hrajú obaja:

Výhoda prvého ťahu pri náhodnej hre je dvojnásobná (58,5 proti 28,8 %), pri „blokuje“ je to ešte 31,1 proti 17,4 % a pri dobrej hre zmizne úplne. Výhoda začať je tým menšia, čím menej sa hráči mýlia. Prvý hráč môže vytvoriť hrozbu najskôr tretím ťahom a vyhrať piatym, druhý hrozbu štvrtým a výhru šiestym; chyba súpera sa využije o ťah skôr. Pri bezchybnej hre z toho nič nezostane.

Zmiešané dvojice: dokonalý prvý hráč vyhráva proti náhodnému druhému 96,8 % a zvyšok je remíza, náhodný prvý hráč proti dokonalému druhému nevyhrá nikdy a prehráva 77,7 %. Poradie napriek tomu záleží: proti Slabej AI sa tá istá dokonalá hra končí 88,5 % výhier ako prvého a 41,0 % ako druhého.

A ostatné varianty

Dva ostatné varianty hry majú iné čísla. Z merania AI (docs/TUNING.md §39, 30. 10. 2026, 40 partií na dvojicu, preto ±15 percentuálnych bodov):

• Päť v rade (15 × 15): v hre dvoch Slabých AI súperov vyhráva prvý ťah 77,5 % partií (remíza sa počíta za polovicu), medzi dvoma Normálnymi AI súpermi 100 % (40 zo 40), medzi Normálnou a Silnou AI 70 %;
• Štvorka s gravitáciou (7 × 6): prvý ťah vyhráva 80,0 % partií medzi dvoma Slabými AI súpermi a 60,0 % medzi dvoma Normálnymi AI súpermi; Silná AI proti Silnej remizuje v 80 % partií.

Sú to výsledky meraní AI, nie dôkazy o hre, ale smer je jasný: na väčších doskách výhoda začínajúceho s lepšou hrou nezaniká (päť v rade: prvý ťah vyhráva 71,3 % medzi dvoma Silnými AI súpermi), kým na 3 × 3 sa od Normálnej úrovne ďalej úplne stratí. Čo z toho plynie pre nastavenia ďalších konfigurácií, rieši osobitná analýza konfigurátora Čiar; tu sa nepredbieha.

Päť rád

1. Začínaš. Otvor rohom: proti Slabej AI je to najlepšie otvorenie (94,0 % výhier pri dokonalom pokračovaní, až 95,5 % pri najlepšom) a proti dokonalému súperovi ťa to nič nestojí. Proti súperovi, ktorý ťahá náhodne, je výhodnejší stred (69,3 % oproti 60,7 % pri rohu a 53,6 % pri hrane).
2. Si druhý. Po strede odpovedz rohom (štyri rohy remizujú, štyri hrany prehrávajú), po rohu iba stredom, po hrane stredom, susedným rohom alebo protiľahlou hranou. Ak súper zahrá roh, ty stred a on opačný roh, odpovedz hranou, nie rohom.
3. Chceš vyhrať nad Slabou AI. Začni rohom, blokuj a hľadaj vidlicu. Ako druhý nemôžeš čakať viac než 41 % výhier: počkaj, kým Slabá AI prehliadne hrozbu. Nehľadaj len vlastnú vidlicu: kto ju hľadá a nebráni súperovej, prehráva (3,5 % hier po otvorení hranou).
4. Chceš zostať v remíze nad dokonalým súperom. Drž poradie: vyhraj, zablokuj, vytvor vidlicu, zabráň súperovej vidlici, stred, roh oproti súperovmu, voľný roh, voľná hrana. Proti Normálnej a Silnej AI to znamená 100 % remíz.
5. Pred každým ťahom polož tri otázky. Môžem vyhrať? Musím zablokovať? A je tu políčko, ktoré by bolo vidlicou pre mňa alebo pre súpera? Ak je jediné pre súpera, obsaď ho; ak sú dve, urob hrozbu, ktorej nútená odpoveď nie je vidlicou súpera.

Čo si z toho odnášam

• „Vyriešená“ hra stále dáva rozdiely. Proti bezchybnému súperovi je výsledok vždy remíza, ale proti Slabej AI je rozdiel medzi prvým a druhým hráčom 88,5 proti 41,0 % a medzi dokonalou a náhodnou hrou 88,5 proti 14,3 %.
• Remíza je úzky koridor. Z 4 520 rozohraných pozícií je remízových 1 052 a bezchybných partií je 3 584 z 255 168.
• AI sa dá vypočítať, nielen odsimulovať. Keď je strom malý, sú presné pravdepodobnosti lacnejšie a presnejšie než milióny partií; simulácia skutočnej AI slúži ako kontrola.
• Slabá AI je navrhnutá chyba. Jej chyby sú pomenované (40 % hrozieb bez pohľadu, 8 % náhodných ťahov) a dajú sa merať: po otvorení rohom vyhrá dokonalý hráč 94 % hier, po hrane 85 %.
• Čísla zo sveta sa overujú dvakrát: vlastným výpočtom a druhým zdrojom. Tri známe čísla (255 168, 5 478, 765) vyšli zhodne; 26 830 vyjde len pri jednom zo spôsobov počítania, a preto sa pri ňom píše, čo sa počíta.

Zdroje a poznámky

• Úplný výpočet stromu (tree.js, jednorazový skript mimo hry a blogu; 30. 10. 2026): počty partií a pozícií, hodnoty otvorení, bezchybné partie, tabuľka chýb po ťahoch, výsledky náhodnej hry (presné pravdepodobnosti), tvary vidlice, línie hry na obrázkoch. Overenie: node sym.js (osmičky symetrií: 765 pozícií, 138 konečných pozícií, 91 / 44 / 3, 26 830 pri zlúčení ekvivalentných ťahov, 31 896 = 255 168 / 8). Jadro enumerácie je v rámčeku vyššie. Skripty nie sú súčasťou blogu; sú uložené s poznámkami k článku.
• Čísla o AI (weak.js, botdist.js, strats.js, extra.js, botvsbot.js, 30. 10. 2026): rozdelenie ťahu každej úrovne v každej pozícii (úroveň 1 z troch vetiev náhodného prúdu funkcie chooseLook, úrovne 2 a 3 rovnomerne z najlepších ťahov searchRoot), prechod stromu so stratégiami hráča; kontrola simuláciou so skutočnou AI (node weak.js --sim 20000 --sim2 300: úroveň 1 20 000 partií na bunku, úrovne 2 a 3 300; odchýlka od presných hodnôt do 0,5 bodu pri úrovni 1, v rámci šumu pri úrovniach 2 a 3).
• Diagramy a grafy: obrázky dosiek kreslí jednorazový skript boards.js priamo z vypočítaného stromu (línie hry sú hlavné varianty z tree.js, hrozby sa počítajú, nič sa nekreslí ručne) do assets/charts/lines-*.svg; dva grafy sú v tools/charts.js s číslami a príkazmi v komentároch (tree.js a weak.js, 30. 10. 2026).
• Ako Slabá AI prehráva (forks-sim.js 20000): simulácia skutočnej AI, 20 000 partií na riadok, rozdelenie výhier na vidlicu a prehliadnutú jedinú hrozbu.
• Hra a AI: docs/DESIGN.md §80 (pravidlá, AI), §87 (disky), js/realms/rokgard/games/lines/core/ai.js (úrovne: LEVELS; v čase merania, verzia hry 0.62.3, js/realms/taflgard/games/chains/core/chains-ai.js), docs/TUNING.md §39 (merania AI, výhoda prvého ťahu na ostatných variantoch). Príkazy hry, ktoré sa spustili 30. 10. 2026 pod starým názvom chains.js (dnes tools/realms/rokgard/games/lines/lines.js): node tools/realms/taflgard/games/chains/chains.js --solved (1 386 partií, 0 prehier, 900 výhier, 486 remíz, 30. 10. 2026) a ... --matrix --games 40 --variant tic (úrovne 2 a 3 medzi sebou 100 % remíz).
• **Wikipedia, Tic-tac-toe** (prečítaná 30. 10. 2026, stránka naposledy upravená 21. októbra 2026): 765 pozícií po symetriách, 138 konečných pozícií a ich rozdelenie 91 / 44 / 3, remízové odpovede po každom otvorení a poradie ôsmich pravidiel (program Newella a Simona, 1972; stránka odkazuje na prácu Crowleyho a Sieglera, 1993). Stránka neuvádza podiely výhier pri náhodnej hre; tie sú z vlastného výpočtu.
• **Wikipedia, Game complexity** (prečítaná 30. 10. 2026, naposledy upravená 22. októbra 2026, časť o tic-tac-toe): 5 478 pozícií, 765 po symetriách, 255 168 partií a 26 830 partií po symetriách. Obe stránky sa prečítali v celom texte; pôvodné práce, na ktoré odkazujú (Newell a Simon, Crowley a Siegler), sa neotvorili.
• Čísla ostatných variantov v sekcii o prvom a druhom hráčovi sú z docs/TUNING.md §39 (40 partií na dvojicu). V tomto článku sa nepreskúšali.

Čo sa nepodarilo overiť: tvrdenia o programe Newella a Simona z originálnej práce (len z Wikipédie), pôvod čísel 255 168 a 5 478 na Wikipédii (vlastný výpočet ich potvrdil, jej zdroje sa neotvorili), dojem skutočných hráčov z úrovne Slabá (výsledky sú pre hráča s danou stratégiou, nie pre človeka), výhoda začať v ostatných variantoch nad rámec meraní AI (v dokumentácii hry). Názvy hry a variantov sú pracovné.